1° de Fevereiro de 2008

Categorias: Programação, Matemática, Obra minha, Curiosidades

Embora tenha muito o que fazer ultimamente, algumas vezes dedico meu tempo a procurar coisas tão interessantes quanto inúteis. Dessa vez foi uma sequência de números primos muito curiosa.

Imagine um número primo que satisfaça a seguinte condição: a soma dos algarismos do produto de seus algarismos também é um número primo. Por hora chamaremos, por falta de nomes melhores¹, o número de Primo Frio e o seu companheirinho resultante das operações de Primo Quente.

Os primeiros termos da série que contém estes números estão aqui²:
2, 3, 5, 7, 13, 17, 31, 37, 43, 71, 73, 113, 127, 131, 137, 151, 173, 211, 223, 257, 271, 277, 281, 311, 317, 431, 457, 523, 541, 547, 557, 577, 727, 757, 821, 853, 1117, 1151, 1171, 1187, 1217, 1223, 1277, 1427, 1451, 1481, 1511, 1523, 1567, 1583, 1621, 1657, 1721, 1871, 2111, 2153, 2161, 2213, 2251, 2281, 2351, 2357, 2417, 2441, 2521, 2531, 2543, 2551, 2711, 2741, 2753, 2857, 2887, 3221, 3251, 3257, 3527, 3581, 3851, 4127, 4157, 4217, 4241, 4253, 4271, 4421, 4457, 4481...

Mas o que tem de tão interessante nisso? Bom vou começar do menos pro mais:
Bem, por maiores que sejam os Primos Quentes, os Primos Frios são muito pequenos. Meu objetivo inicial era buscar por um Quente cujo Frio fosse o maior possível, de preferência maior que 100. Mas, para se ter uma idéia, para se ter um 101 como Frio, seria necessário um Quente de ordem de, no mínimo, 100 bilhões! Até o presente momento, meu computador já chegou à casa dos 120 milhões e o Frio máximo até agora foi 31, que, mesmo assim, aparece com raridade. Os mais comuns são 19 e 3.

Mas o que realmente me fez escrever sobre esses números aqui é um fenômeno muito curioso: sempre que um Quente tem algarismos 3 ou 6, seu Frio correspondente SEMPRE, INVARIAVELMENTE, valerá 3. E vale a volta, o Frio 3 só aparece se seu Quente tiver 3 ou 6. E isso é realmente curioso! Não faço a mínima idéia dos porquês disso, mas até agora já verifiquei para todos até o 124.428.181 e isso se verifica perfeitamente.

Algum palpite? Eu estou muito curioso a respeito disso! Enquanto isso, eu espero pra ver se meu computador me dá um resultado de Frio maior que 31. Acho que só durmo bem a noite se isso acontecer... :-)

Atualização: Deixei o Sócrates buscando pelos números enquanto dormia. Acordei e vi que ele encontrou dois números com Quentes maiores que 31: 174.877.777 (41) e 177.788.887 (43). Relativamente próximos! Na verdade, o que o programa guarda mesmo são os menores Frios para aquele Quente. No caso do 31 o menor Frio era 478.787!

1. Alguma sugestão de nomes? Estou precisando, Quente e Frio não são nada legais...
2. Aqui, uma lista maior, e aqui um programa (Linux) para gerar quantos termos da série quiser.

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